BESARAN VEKTOR

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan
arah sedangkan besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah. Contoh besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, rapat arus listrik, medan listrik dan medan magnet.

1.  Notasi Vektor

Nama vektor dapat dituliskan dengan dua cara sebagai berikut:
a.  menuliskan tanda vektor atau anak panah diatas nama vektor yang terdiri dari satu huruf atau dua huruf.
b.  menuliskan nama vektor dengan satu huruf atau dua huruf yang
ditebalkan. Contoh: R atau AB

Vektor digambarkan dengan simbol anak panah.  Panjang anak panah
menunjukkan nilai atau besarnya vektor dan arah anak panah menunjukkan arah vektor  seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

vektor01
Gambar  Simbol Vektor

Titik A adalah pangkal vektor dan titik B adalah ujung vektor. Panjang dari A sampai B adalah besar vektor. P adalah vektor dengan arah ke kanan. R adalah suatu vektor yang membentuk sudut 45o terhadap sumbu x (+). Panjang anak panah menyatakan besar vektor (panjang AB), arah anak panah menyatakan arah vektor.

Besar suatu vektor disebut juga norma, modulus atau magnitude, yang
dinyatakan dengan:

vektor 02

Besar vektor merupakan besaran skalar dan nilainya selalu positif.

Dua buah vektor dikatakan sama apabila besar dan arah kedua vektor sama meskipun pangkal vektornya berbeda. Vektor P sama dengan vektor R seperti ditunjukkan pada gambar  berikut ini:

vektor 03
Gambar  Dua Vektor P dan R Sama Besar

Sedangkan Gambar  di bawah menunjukkan bahwa vektor A dan vektor B memiliki besar yang sama tetapi berlawanan arah.

vektor04

Gambar  Dua Vektor Berlawanan Arah

2.  Komponen-komponen Vektor

Sebuah vektor  dalam ruang 2 dimensi dapat diuraikan atas komponen-komponennya, yaitu komponen pada arah sumbu x dan komponen pada arah sumbu y seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini:

vektor 05
Gambar Komponen vektor pada arah sumbu x dan sumbu y

Komponen vektor F dapat diuraikan menjadi:
a.   Komponen vektor F pada sumbu X positif adalah Fx = F cos 𝜃
b.   Komponen vektor F pada sumbu Y positif adalah Fy = F sin 𝜃

Apabila komponen-komponen vektor diketahui maka untuk menentukan besar dan arah vektor dari komponen-komponenya dapat ditentukan sebagai berikut:   Misalkan diketahui komponen-komponen vektor Fx dan Fy seperti yang ditunjukkan gambar di bawah :

vektor 06

Gambar  Komponen Vektor Fx dan Fy

Dengan menggunakan teorema Phytagoras, maka besar (F) dan arah (θ) vektor F ditentukan sebagai berikut

vektor 07

3.  Penjumlahan Vektor

Vektor dapat dioperasikan secara matematis, baik operasi penjumlahan
maupun perkalian. Namun demikian operasi vektor memiliki beberapa
perbedaan dengan operasi skalar karena dalam operasi vektor tidak hanya memperhitungkan besar namun juga sekaligus arahnya. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis (geometris) dan dapat pula dilakukan secara analitis.

a.  Penjumlahan Vektor secara Geometris

Penjumlahan vektor secara geometris dapat dilakukan dengan dua macam metode yaitu metode poligon dan metode jajargenjang. Vektor hasil penjumlahan dinamakan vektor resultan.

Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metode Poligon  Apabila diketahui tiga vektor gaya sebagai berikut: Vektor A = 5 N, B = 4 N,
dan C = 3 N seperti gambardi bawah :

vektor 08
Gambar  Tiga v ektor gaya

Contoh 1: Menentukan resultan (jumlah) dua vektor A dan B

vektor 09

Gambar   Resultan dua vector A dan B

Cara melukis resultan dua vektor A dan B dengan metode polygon adalah:
1)  Letakkan pangkal vektor B tepat pada ujung vektor A
2)  Lukis garis hubung dari pangkal  vektor  A  sampai ujung vektor  B
(panjang garis tersebut adalah besar resultan vektor R).

Contoh 2: Menentukan resultan tiga vektor A, vektor B dan vektor

vektor 10

Gambar  Resultan Tiga Vektor A, B, dan C

Langkah-langkah melukis resultan vektor R = A + B + C
1)  Letakkan pangkal vektor B tepat pada ujung vektor A
2)  Letakkan pangkal vektor C tepat berimpit dengan ujung vektor B
3)  Lukis garis hubung dari pangkah vektor  A  sampai ujung vektor  C
(resultan vektor R).

Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metode  Jajargenjang

Perhatikan gambar tiga vektor A = 5 N, B = 4 N, dan C = 3 N pada gambar
di bawah
Contoh 1: Menentukan resultan dua vektor A dan vektor B dengan metode jajargenjang.

vektor 11

Gambar  Resultan dua vektor A dan B dengan metode jajargenjang

Langkah-langkah melukis resultan vektor R = A + B
1)  Lukis vektor A dan Vektor B dengan kedua pangkal vektor berimpit.
2)  Lukis jajargenjang dengan vektor A dan B sebagai sisi-sisinya.
Diagonal jajargenjang yang titik pangkalnya O  sama dengan pangkal kedua vektor adalah resultan vektor. Panjang diagonal OC adalah besarnya resultan R.

Contoh 2: Menetukan resultan tiga vektor A, vektor B, dan vektor C dengan metode jajargenjang.

vektor12
Gambar  Resultan tiga vektor A, B, dan C dengan metode jajargenjang

Langkah-langkah melukis resultan vektor R = A + B + C
1)  Lukis jajargenjang 1 dengan vektor A dan B sebagai sisi-sisinya.
2)  Diagonal jajargenjang yang titik  pangkalnya sama dengan pangkal
vektor A dan B adalah resultan vektor R1.
3)  Lukis jajargenjang 2 dengan vektor C dan R1 sebagai sisi-sisinya.

Diagonal jajargenjang yang titik pangkalnya sama dengan pangkal vektor R1 dan C adalah resultan vektor R. Panjang diagonal OD adalah besarnya vektor R.

Contoh Soal :
Dua vektor A  dan vektor B masing-masing 12 m dan 8 m. Tentukan besar resultan dua vektor tersebut menggunakan metode grafik.

Jawab:
Misalkan kita gunakan skala 1:400, maka vektor  A  dan vektor  B  dapat
digambar sebagai berikut :
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1)  Tetapkan sumbu X positif sebagai acuan untuk menentukan vektor.
2)  Lukis vektor resultan dengan metode poligon.
3)  Tentukan skala ukuran besar vektor
4)  Lukis setiap vektor sesuai dengan ukuran skala yang ditetapkan.
5)  Ukur panjang resultan vektor kemudian tentukan panjang sebenarnya.

vektor 13

Gambar  Resultan dua dengan metode grafik

Dari hasil pengukuran panjang R dalam gambar di atas  adalah 4 cm, maka besar resultan vektor adalah 4 x 400 cm = 1600 cm atau 16 m .

b.  Penjumlahan Vektor secara Analitis
Misalkan diketahui dua vektor A dan vektor B sebagai berikut :

vektor 14
Gambar  Vektor A dan Vektor B

Untuk menentukan resultan dua vektor tersebut secara analitis, maka langkah-langkahnya adalah:

vektor 15

Gambar  Resultan dua vector secara analitis

1)  Tetapkan salah satu vektor sebagai sumbu x positif, misal vektor A.
2)  Tentukan komponen-komponen masing-masing vektor, komponen-
komponen kedua vektor A dan B adalah:
Ax = A. cos θ, Bx = B.cos θ
Ay = A. sin  θ, By = B. sin θ
Jumlah komponen vektor pada sumbu x = Rx,
Rx = Ax + Bx
Jumlahkan komponen vektor pada sumbu y = Ry,
Ry = Ay + By

3)  Hitung besar resultan vektor A dan B

vektor 16

Apabila  terdapat tiga vektor  atau lebih  masing-masing vektor  diuraikan komponennya dalam sumbu x (Fx) dan sumbu y (Fy) kemudian dijumlahkan pada masing=masing sumbu (ΣFx) dan (ΣFy). Resultan vektor dapat dihitung menggunakan persamaan :

vektor 17

R = resultan vektor
θ  = sudut yang dibentuk resultan vektor dengan sumbu x
Fx = komponen vektor pada sumbu x
Fy = komponen vektor pada sumbu y
Σ Fx = jumlah komponen vektor dalam sumbu x
Σ Fy = jumlah komponen vektor dalam sumbu y

Untuk menentukan resultan dua buah vektor yang membentuk sudut tertentu dapat ditentukan menggunakan rumus cosinus.

vektor 18

Gambar  Vektor A dan B saling membentuk sudut θ

R  adalah resultan dua vektor  A  dan  B. Arah resultan vektor  R  adalah  𝛼 terhadap vektor  A. Dengan rumus cosinus, maka besar resultan  R  dapat ditentukan dengan:

vektor 19